Download e-book for iPad: Algebra: Gruppen - Ringe - Korper by Christian Karpfinger

By Christian Karpfinger

ISBN-10: 3827420180

ISBN-13: 9783827420183

Dieses Lehrbuch bietet eine Einführung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bemüht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisführungen sind ausführlich, gelegentlich werden sogar verschiedene Beweise aufgezeigt. Zahlreiche Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade (mit Lösungsvorschlägen auf der web site) überprüfen das Gelernte und fördern das tiefere Verständnis.

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Contains bibliographies. ''International Colloquium on Vector Bundles on Algebraic forms, held on the Tata Institute of primary examine in January, 1984''

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4 Der Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Innere Automorphismen und das Zentrum einer Gruppe * . . . . . . . 6 Isomorphiesätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Ist U eine Untergruppe einer Gruppe G, so liefert die Menge der Linksnebenklassen a U eine Partition von G. Wir wollen auf dieser Menge M der Linksnebenklassen eine Verknüpfung erklären, sodass M damit ebenfalls eine Gruppe ergibt. Das ist so einfach aber nicht möglich, die Untergruppe U muss dazu eine weitere Eigenschaft erfüllen – sie muss ein Normalteiler sein.

Die so beschriebene Faktorgruppe (Zn , +) heißt Restklassengruppe modulo n. Den Potenzen ak in der multiplikativen Schreibweise entsprechen hier die Vielfachen k · (a + n Z) = k a + n Z. Insbesondere lässt sich jede Nebenklasse a = a + n Z darstellen in der Form a · 1 = a · (1 + n Z) = a + n Z, d. , die Gruppe Zn ist zyklisch, sie wird erzeugt von 1: Zn = 1 , o(1) = |Zn | = n . 9 Die Menge Zn = {0, 1, . . , n − 1} der Restklassen modulo n ist bezüglich der Addition a + b = a + b eine zyklische, von 1 erzeugte Gruppe der Ordnung n.

Jordan. 12 Jede Gruppe von Primzahlordnung ist zyklisch. Beweis: Die Gruppe G habe Primzahlordnung p. 10: o(a) = p, also G = a . Bemerkung. 3). 13 Sind U und V Untergruppen der endlichen Gruppe G mit U ⊆ V , so gilt [G : U ] = [G : V ] · [V : U ] . Beweis: Wir wenden den Satz von Lagrange mehrfach an: |G| = [G : U ] · |U | = [G : V ] · |V | = [G : V ] · [V : U ] · |U | . Durch Kürzen von |U | folgt die Behauptung. 9 von Lagrange zurück. Bemerkung. 12). 9 In der Quaternionengruppe Q := {±E, ±I, ±J, ±K} (vgl.

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by Charles
4.1

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